Function (फलन) गणित केवल संख्याओं और समीकरणों का विषय नहीं है, बल्कि यह वास्तविक जीवन की समस्याओं को समझने और उनका समाधान खोजने का वैज्ञानिक तरीका है। गणित का सबसे महत्वपूर्ण और आधारभूत सिद्धांतों में से एक है — Function (फलन)।
हम अपने दैनिक जीवन में अनेक प्रकार के फलनों का अनुभव करते हैं, जैसे:
- समय के साथ तापमान में परिवर्तन
- दूरी और समय के बीच संबंध
- आय और व्यय का संबंध
- मोबाइल की बैटरी और उपयोग का संबंध
- गति और समय का संबंध
इन सभी स्थितियों में एक राशि दूसरी राशि पर निर्भर करती है। इसी निर्भरता के गणितीय निरूपण को फलन कहते हैं।
2️⃣ फलन (Function) की परिभाषा
परिभाषा:
यदि A और B दो समुच्चय हों और A के प्रत्येक अवयव के लिए B में केवल एक ही अवयव निश्चित हो, तो उस संबंध को फलन (Function) कहते हैं।
गणितीय निरूपण:
f : A → B
यहाँ —
A = डोमेन (Domain)
B = को-डोमेन (Codomain)
उदाहरण:
यदि
A = {1, 2, 3}
B = {1, 4, 9}
और
f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9
तो f एक फलन है।
3️⃣ फलन के प्रमुख अवयव
1. डोमेन (Domain)
इनपुट मानों का समुच्चय।
2. को-डोमेन (Codomain)
संभावित आउटपुट मानों का समुच्चय।
3. रेंज (Range)
वास्तविक रूप से प्राप्त आउटपुट मानों का समुच्चय।
उदाहरण:
यदि
f(x) = x²
और x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}
तो
डोमेन = {–2, –1, 0, 1, 2}
को-डोमेन = वास्तविक संख्याएँ
रेंज = {0, 1, 4}
4️⃣ फलन का निरूपण (Representation of Function)
फलन को चार तरीकों से दर्शाया जाता है:
- बीजगणितीय रूप (Algebraic Form)
- तालिका द्वारा
- ग्राफ द्वारा
- एरो आरेख द्वारा
5️⃣ फलन के प्रकार (Types of Functions)
UP Board कक्षा 12 के पाठ्यक्रम में निम्नलिखित प्रकार के फलन प्रमुख रूप से पढ़ाए जाते हैं:
- एक-एक फलन (One-One / Injective Function)
- अनेक-एक फलन (Many-One Function)
- सर्वांग फलन (Onto / Surjective Function)
- आंशिक फलन (Into Function)
- द्वि-एक फलन (Bijective Function)
- पहचान फलन (Identity Function)
- स्थिर फलन (Constant Function)
- बहुपद फलन (Polynomial Function)
- परिमेय फलन (Rational Function)
- मापांक फलन (Modulus Function)
- महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function)
6️⃣ एक-एक फलन (One-One / Injective Function)
परिभाषा:
यदि f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂, तो फलन को एक–एक फलन कहते हैं।
सरल शब्दों में:
अलग-अलग इनपुट से अलग-अलग आउटपुट मिलें।
उदाहरण:
f(x) = x³
यह एक-एक फलन है।
7️⃣ अनेक-एक फलन (Many-One Function)
परिभाषा:
यदि a₁ ≠ a₂ परंतु f(a₁) = f(a₂), तो फलन अनेक–एक कहलाता है।
उदाहरण:
f(x) = x²
f(2) = 4 और f(–2) = 4
8️⃣ सर्वांग फलन (Onto Function)
परिभाषा:
यदि को-डोमेन का प्रत्येक अवयव रेंज में सम्मिलित हो, तो फलन सर्वांग कहलाता है।
उदाहरण:
f(x) = x + 1, जहाँ डोमेन और को-डोमेन दोनों वास्तविक संख्याएँ हों।
9️⃣ आंशिक फलन (Into Function)
परिभाषा:
यदि को-डोमेन के कुछ अवयव रेंज में न आएँ, तो फलन आंशिक कहलाता है।
🔟 द्वि-एक फलन (Bijective Function)
परिभाषा:
जो फलन एक–एक और सर्वांग दोनों हो।
महत्व:
द्वि-एक फलन का प्रतिलोम फलन (Inverse Function) अस्तित्व में होता है।
11️⃣ पहचान फलन (Identity Function)
परिभाषा:
यदि f(x) = x, तो उसे पहचान फलन कहते हैं।
उदाहरण:
f(x) = x
12️⃣ स्थिर फलन (Constant Function)
परिभाषा:
यदि f(x) = c (जहाँ c कोई स्थिरांक हो), तो उसे स्थिर फलन कहते हैं।
13️⃣ बहुपद फलन (Polynomial Function)
परिभाषा:
यदि फलन बहुपद के रूप में हो।
उदाहरण:
f(x) = x² + 2x + 1
14️⃣ परिमेय फलन (Rational Function)
परिभाषा:
यदि फलन दो बहुपदों के अनुपात में हो।
उदाहरण:
f(x) = (x+1)/(x–2)
15️⃣ मापांक फलन (Modulus Function)
परिभाषा:
f(x) = |x|
16️⃣ महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest Integer Function)
परिभाषा:
f(x) = [x]
यह x से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्ण संख्या देता है।
17️⃣ वास्तविक जीवन में फलन का महत्व
- बैंक ब्याज गणना
- मोबाइल डेटा उपयोग
- बिजली बिल गणना
- दूरी और समय
- वाहन की गति
हर जगह फलन का प्रयोग होता है।
18️⃣ ग्राफ द्वारा फलन की पहचान (Vertical Line Test)
यदि किसी ग्राफ पर कोई भी ऊर्ध्वाधर रेखा उसे केवल एक बिंदु पर काटे, तो वह ग्राफ फलन को दर्शाता है।
19️⃣ परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण बिंदु
✔ परिभाषाएँ अच्छे से याद करें
✔ ग्राफ आधारित प्रश्नों का अभ्यास करें
✔ फलनों के प्रकारों में अंतर समझें
✔ डोमेन और रेंज निकालने का अभ्यास करें
✔ पिछले वर्षों के प्रश्न हल करें
20️⃣ 25 परीक्षा उपयोगी प्रश्न-उत्तर (FAQs)
Q1. फलन की परिभाषा लिखिए।
Ans. जिस संबंध में डोमेन के प्रत्येक अवयव के लिए को-डोमेन में केवल एक अवयव हो, उसे फलन कहते हैं।
Q2. डोमेन क्या होता है?
Ans. इनपुट मानों का समुच्चय।
Q3. रेंज क्या होती है?
Ans. आउटपुट मानों का समुच्चय।
Q4. को-डोमेन क्या है?
Ans. संभावित आउटपुट का समुच्चय।
Q5. एक-एक फलन क्या है?
Ans. जिसमें अलग-अलग इनपुट से अलग-अलग आउटपुट मिलें।
Q6. अनेक-एक फलन क्या है?
Ans. जिसमें अलग इनपुट से एक ही आउटपुट मिले।
Q7. सर्वांग फलन की परिभाषा दीजिए।
Ans. जिसमें को-डोमेन का प्रत्येक अवयव रेंज में हो।
Q8. आंशिक फलन क्या होता है?
Ans. जिसमें को-डोमेन के सभी अवयव प्राप्त न हों।
Q9. द्वि-एक फलन क्या है?
Ans. जो एक-एक और सर्वांग दोनों हो।
Q10. पहचान फलन क्या है?
Ans. f(x) = x
Q11. स्थिर फलन क्या है?
Ans. f(x) = c
Q12. बहुपद फलन का उदाहरण दीजिए।
Ans. f(x) = x² + 3x + 2
Q13. परिमेय फलन का उदाहरण दीजिए।
Ans. f(x) = (x+2)/(x–1)
Q14. मापांक फलन क्या है?
Ans. f(x) = |x|
Q15. महत्तम पूर्णांक फलन क्या है?
Ans.f(x) = [x]
Q16. क्या हर संबंध फलन होता है?
Ans. नहीं।
Q17. क्या हर फलन संबंध होता है?
Ans. हाँ।
Q18. ग्राफ से फलन कैसे पहचानते हैं?
Ans. Vertical Line Test द्वारा।
Q19. f(x) = x² क्या एक-एक है?
Ans. नहीं।
Q20. f(x) = x³ क्या एक-एक है?
Ans. हाँ।
Q21. द्वि-एक फलन क्यों महत्वपूर्ण है?
Ans. क्योंकि इसका प्रतिलोम अस्तित्व में होता है।
Q22. वास्तविक जीवन में फलन का उदाहरण दीजिए
Ans. समय और दूरी।
Q23. फलन क्यों पढ़ाया जाता है?
Ans. क्योंकि यह गणित की नींव है।
Q24. UP Board परीक्षा में इस अध्याय से कितने अंक आते हैं?
Ans. लगभग 8–12 अंक।
Q25. इस अध्याय में सफलता का सर्वोत्तम तरीका क्या है?
Ans. नियमित अभ्यास, ग्राफ समझना और पुनरावृत्ति।
🎯 निष्कर्ष (Conclusion)
Function (फलन) अध्याय गणित की रीढ़ की हड्डी है। यदि विद्यार्थी इसे गहराई से समझ लेते हैं, तो Limits, Continuity, Differentiation, Integration जैसे कठिन अध्याय भी सरल लगने लगते हैं।
